Оптимальные передаточные числа автопилота с точки зрения точности стабилизации

Рассмотрим продольное движение вертолета с автопилотом на ре­жиме висения. Задачей автопилота в этом случае является подавление влияния атмосферных возмущений на изменение угла тангажа. Пусть атмосферное возмущение представляет собой горизонтальный порыв вет­ра, имеющий скорость U. Вернемся к уравнениям движения вертолета (5.10), (5.11). Если пренебречь изменением скорости центра масс вер^ толета и рассматривать только сравнительно высокочастотные угловые колебания вертолета, можно ограничиться рассмотрением одного урав­нения (5.10), положив в нем AVX=U, которое запишется тогда как

Iz-Д& — Д&г MZXU. На рис. 5.38 приведена струк­

турная схема, соответствующая при указанных условиях режиму стаби­лизации заданного угла тангажа.

Рис. 5.38. Структурная схема стабилизации угла тангажа при воздействии атмосферных возмущений

Пользуясь методикой определения параметров оптимальных систем автоматической стабилизации (см., например, [21, 30]), можно в этом случае найти передаточную функцию автопилота, обеспечивающую ми­нимум среднеквадратической ошибки стабилизации.

Здесь необходимо сделать важное замечание. Исполнительным ор­ганом автопилота служит рулевая машина, имеющая ограниченный ход. Кроме того, с точки зрения прочности конструкции вертолета, выгодно, чтобы отклонения управления были бы минимальными. Исходя из этого целесообразно задачу оптимизации поставить иначе.

Необходимо найти оптимальную передаточную функцию автопилота (или оптимальные значения передаточных чисел при заданной структуре автопилота) при следующих условиях. При заданном виде атмосфер­ных возмущений система должна обеспечивать минимум среднеквадра­тической величины управляющего воздействия при заданной средне­квадратической ошибке стабилизации.

Возможен и другой вариант постановки задачи, когда система при тех же условиях должна обеспечивать минимум среднеквадратической ошибки стабилизации при заданном уровне среднеквадратического от­клонения выхода рулевой машины.

Отметим, что реально более применим, по-видимому, первый вари­ант, учитывая то, что показатели точности стабилизации обычно зада­ются.

Будем считать, что структура автопилота задана и определяется передаточной функцией ~^^ = і-f-i^s. Определим интегральную квад-

w (5)

ратическую ошибку стабилизации по углу тангажа, равную /» =

= и интегральное квадратическое управляющее возденет-

о

оо

вие, равное hz = [ [о+)]2-Л ПРИ условии, что атмосферное возмущение

h

представляет собой импульсную функцию. Это соответствует мгновен­ному нарастанию скорости порыва ветра до величины Uо и последующему мгновенному его спаду до нуля.

Упомянутые выше критерии оптимальности системы можно запи­сать в следующем виде: _

а) минимум управляющего воздействия при ограниченной ошибке стабилизации/бг=шіп, h^CNy,

б) минимум ошибки стабилизации в пределах допустимого значе­ния управляющего воздействия 7& = min, hz^CNnz.

ИМ*)

Далее попытаемся определить передаточные числа автопилота і и г’ш исходя из сформулированных критериев. Найдем вначале пере­даточные функции от атмосферного возмущения к углу тангажа и к управляющему воздействию 6Z:

Согласно теореме Парсеваля

(5. 33)

где X(s) —преобразование Лапласа для x(t).

Обозначим преобразование Лапласа для ®(t) через ft(s), а для U(t) через U(s). Тогда согласно (5.31) имеем ^(s) = 1Fi(s) • U(s).

Выражение для h можно записать следующим образом с учетом зависимостей (5.31) и (5.33):

/& = — f ir1(s)-M71(-s)-7/(s)-7/(-s)rf5. 2nj J —/00

Для hz с учетом (5. 32) и (5. 33) имеем:

+7 00

/8 =—— f Vty2(s)-r2(-s)-7/(s)-7/(-s)flfs.

2 2nj J

—

+ 7*00 1

—7*00

Определим полученные интегралы для принятых передаточных функций автопилота и вертолета. Согласно условленному ранее U (t) яв­ляется импульсной функцией с амплитудой U0. Тогда U(s) = U0. При этом

X ‘ /—5 —ш 4 —5

s2+ (л4**-/ш+.Л4“2) s— Mzzi

si-{M/ia+M/)s — М/-І По таблице [21, 30] для интегралов вида

,п=-і-Т—Ш—————- ds,

2hq*

/* =

-A«*z/*+i

2л j J kn(s)-hn(—s)

Теперь задача может быть сформулирована следующим образом: найти такие значения і, іш, при которых функция /» =/» (г, іш) имела бы

заданное значение /& <N& , а функция hz=hz (*’, i»>) имела бы мини­мальное значение.

Это — задача на условный экстремум для функции двух переменных и легко решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Точ­ка минимума для функции /б=/« при условии h =Nb опреде­

лится из следующих трех уравнений:

h(i, Q — Nb=0, j

-jr [hz{i, Ц + Ц/ь (і, Ц-Nt]] =0, j

-57- {^e2(* *а>)-ЬМ^&(A i<*) — N&]} =0. J

Подставив в систему значения функций /9 (г, /ш) и h {і, L), получим M + Nbi (MlzL + M?)=0, t2 — X=0,

— ‘2ЦМ&/ію -|- Mz) — (— mz ■ it + г)] — X=0.

Эта система после исключения X имеет вид

Проанализируем эти уравнения. Первое из них связывает между со­бой заданную ошибку стабилизации Ыь с передаточными числами і it і ш> Видно, что ошибка будет тем меньше, чем выше передаточные чис­ла, и наоборот.

Второе уравнение связывает между собой і и іш. Иными словами, оно определяет на плоскости i, im кривую оптимальных соотношений г
и ia. В то же время, чем больше гт или г (так как і является возрастаю­щей функцией г’ш), тем меньше ошибка стабилизации N& .

. Определим теперь оптимальные соотношения между і и і а для вто­рого критерия (минимум ошибки стабилизации при заданной величине управляющего воздействия).

Система уравнений, аналогичная системе (5.34), будет иметь в этом случае вид:

hz{i, ^ш)

-J — {h (і, L) + * [hz{i, Q — Ntz]} = 0,

— {/& (І, ia) — f — X [hz (І, ia>)——— — NjJ } 0

или (после преобразований и исключения Я):

і = — М/іш —М~/Ц.

Из рассмотрения этих уравнений видно, что уровень управляющего воздействия Ns является возрастающей функцией передаточных чисел і и і о). Второе уравнение, как и в предыдущем случае, определяет кривую оптимальных соотношений между передаточными числами. Интересно отметить, что это уравнение совпадает с полученным значением для пер­вого критерия.

Из приведенных рассуждений видно, что даже весьма приближен­ный анализ дает довольно ценные результаты. Их можно резюмировать следующим образом.

1. Минимальной величине управляющего воздействия при заданной

ошибке стабилизации, а также минимальной ошибке стабилизации при заданном уровне управляющего воздействия соответствует определен­——————————— u) I — 5 2

ное соотношение между і и iw„ а именно: i — — Mzzim —— Мгг-іш.

2. Увеличение і и іш в отношении, даваемом указанной зависимо­стью, приводит к уменьшению ошибки стабилизации и одновременно к увеличению уровня управляющего воздействия.

Следовательно, требования увеличения точности стабилизации и уменьшения потребного управляющего воздействия противоречат одно другому и передаточные числа должны выбираться на основе какого-то компромисса.

Как будет показано ниже, отношения —, даваемые приведенным

і

анализом, близки к тем, которые практически реализуются на вертоле­тах (см. рис. 5.45—5.47).